Método de sustitución: cómo resolver sistemas de ecuaciones paso a paso
- Asesorias Pérgamo
- hace 2 días
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¿Qué es un sistema de ecuaciones?
En matemáticas es muy común encontrar problemas donde no basta con calcular un solo valor desconocido. En muchas ocasiones es necesario encontrar dos o más incógnitas al mismo tiempo.
Imagine la siguiente situación.
En una cafetería ocurre lo siguiente:
Dos cafés y un pastel cuestan $28.000 COP.
Un café y dos pasteles cuestan $26.000 COP.
Con esta información todavía no sabe cuánto cuesta cada producto por separado. Sin embargo, sí tiene suficientes datos para descubrirlo.
Este tipo de situaciones se resuelven mediante un sistema de ecuaciones.
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que contienen las mismas incógnitas y que deben cumplirse simultáneamente.
Por ejemplo:
Resolver este sistema significa encontrar los valores de x y y que hacen verdaderas ambas ecuaciones.
¿Qué es el método de sustitución?
Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones. Uno de los más utilizados es el método de sustitución.
La idea es mucho más sencilla de lo que parece.
Imagine que un amigo le dice:
"Mi hermano tiene tres años más que yo."
Si usted conoce la edad del hermano, puede calcular la del amigo. Pero también ocurre al contrario: si conoce la edad del amigo, puede expresar la del hermano utilizando esa información.
Eso es exactamente lo que hace el método de sustitución.
En lugar de trabajar con dos incógnitas independientes, una de ellas se expresa en función de la otra. Después, esa expresión se reemplaza en la segunda ecuación para obtener una sola ecuación con una única incógnita.
Una vez encontrada esa incógnita, la otra se calcula fácilmente.
¿Por qué funciona el método de sustitución?
Cuando despejamos una variable no estamos cambiando el problema.
Simplemente estamos escribiendo la misma información de otra manera.
Por ejemplo, si sabemos que:
Podemos despejar la variable y.
La ecuación sigue diciendo exactamente lo mismo. La única diferencia es que ahora conocemos una expresión equivalente para y.
Gracias a ello podemos reemplazarla en la otra ecuación y simplificar el problema.
¿Cuándo conviene utilizar el método de sustitución?
Aunque este método siempre puede utilizarse, existen situaciones donde resulta especialmente recomendable.
Conviene usar sustitución cuando:
Una incógnita ya está despejada.
El coeficiente de una variable es 1 o -1.
Despejar una variable requiere pocos pasos.
Se busca un procedimiento fácil de seguir y comprender.
En cambio, cuando ambas variables tienen coeficientes grandes o poco convenientes, otros métodos como la reducción pueden resultar más rápidos.
Pasos del método de sustitución
Resolver un sistema mediante sustitución siempre sigue el mismo procedimiento.
Paso 1. Despejar una incógnita
El primer paso consiste en elegir una de las ecuaciones y despejar una de sus variables.
Siempre es recomendable escoger la que resulte más fácil de despejar.
Observe el siguiente sistema.
Como la primera ecuación es muy sencilla, despejamos y.
Hasta este momento no hemos resuelto el sistema. Únicamente hemos escrito la primera ecuación de otra forma.
Paso 2. Sustituir en la otra ecuación
Ahora reemplazamos la expresión obtenida en la segunda ecuación.
En lugar de escribir la variable y, escribimos 10 − x.
Observe que el sistema de dos ecuaciones ha desaparecido.
Ahora solo queda una ecuación con una única incógnita, mucho más sencilla de resolver.
Un profesor de Asesorías Pérgamo puede resolverte tus dudas en una sesión sin esperar a la próxima evaluación para descubrir que no quedó claro.
Paso 3. Resolver la ecuación resultante
Después de sustituir la expresión obtenida en la segunda ecuación, el sistema se convierte en una sola ecuación con una única incógnita.
El siguiente paso consiste en eliminar el paréntesis.
Ahora agrupamos los términos semejantes.
Sumamos 10 a ambos lados de la igualdad.
Finalmente dividimos entre 3.
Ya conocemos el valor de una de las incógnitas.
Paso 4. Encontrar la segunda incógnita
Ahora sustituimos el valor encontrado en la expresión que habíamos despejado al inicio.
Recordemos que:
Reemplazamos el valor de x.
Obtenemos:
La solución del sistema es:
Paso 5. Verificar la solución
Uno de los errores más comunes es dar por terminada la solución sin comprobarla.
Siempre es recomendable sustituir los valores encontrados en las ecuaciones originales.
Primera ecuación:
Segunda ecuación:
También se cumple.
Por lo tanto, la solución es correcta.
Errores más comunes al aplicar el método de sustitución
Aunque el procedimiento es sencillo, existen algunos errores que aparecen con frecuencia:
Despejar incorrectamente una incógnita.
Cambiar los signos al pasar un término de un lado al otro.
Olvidar los paréntesis al sustituir una expresión.
Cometer errores al simplificar la ecuación resultante.
No verificar la solución en las ecuaciones originales.
Una buena práctica consiste en revisar cada paso antes de continuar con el siguiente.
Consejos para resolver sistemas de ecuaciones por sustitución
Elija la ecuación donde sea más fácil despejar una incógnita.
Si una variable tiene coeficiente 1 o −1, normalmente será la mejor opción para despejar.
Escriba cada paso con claridad para evitar errores de signos.
Utilice paréntesis siempre que sustituya una expresión.
Compruebe la solución al finalizar.
Ejercicios para practicar
Resuelva los siguientes sistemas utilizando exclusivamente el método de sustitución.
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